Planos de aula de matemática para o ensino fundamental

Usos da intuição

Objetivos
1) Aplicar os conceitos de progressões geométricas;
2) Trabalhar com avaliações, estimativas e intuição.
Público alvo
Alunos do segundo ano do ensino médio.
Tempo de execução
Uma hora-aula.
Introdução
Quanto crédito merece a nossa intuição?
No estudo de ciências, muitas situações nos levam a conclusões enganadoras porque, às vezes, confiamos na nossa intuição.
Raciocínios intuitivos são úteis quando são treinados, isto é, quando as conclusões obtidas pela intuição já tiverem passado pelo crivo da realidade ou comparadas com um modelo. Assim como as eventuais discrepâncias já devem estar assimiladas e os resultados dessas experiências anexados ao nosso universo de vivências cotidianas.
Na escola, podemos estimular os estudantes a lançar hipóteses sobre fenômenos ou fazer estimativas a respeito de quantidades. Quando a situação é conhecida, é mais fácil acertar um palpite ou, pelo menos, chegar mais perto da resposta requerida.
Atividade
Usar a lenda da invenção do xadrez, que é bem conhecida. Ela pode ser encontrada no capítulo 16 de "O Homem que Calculava" que é a mais famosa obra de Malba Tahan. Aqui você encontra informações sobre ela, que podem ser passadas aos seus alunos.
Ao final da história, uma engenhosa maneira de juntar grãos de trigo sobre o tabuleiro gera uma quantidade espantosa e uma discussão sobre os riscos de se confiar na intuição.
Leia com os alunos o capítulo e depois deixe-os refletir e responder às questões do seguinte roteiro:
1. Observe a seqüência que mostra o número de grãos no tabuleiro de xadrez: 1 - 2 - 4 - 8 - ...
a) Como é chamado esse tipo de seqüência?
b) Chamando de a1 o número de grãos na primeira casa, a2 o número de grãos na segunda, e assim por diante, complete:
a3 =a6 =a12 =an (para n naturais)=
c) Como foi calculada a soma dos grãos? Faça este cálculo.
3. Nas casas de um tabuleiro de xadrez, numeradas de 1 até 64, foram colocados: 1 grão na 1ª casa; 2 na 2ª; 3 na 3ª; 4 na 4ª e assim por diante até a última, com 64 grãos. Quantos grãos de soja teremos no total?
4. Sobre o número de grãos de trigo obtido, alguns autores afirmam que ele é tão grande que se a superfície da Terra, inclusive os mares, fosse quadriculada de modo a formar quadradinhos de 1 cm de lado, o rei deveria colocar 4 grãos em cada um deles. Com essa informação, calcule o raio aproximado da Terra.
Para depois da atividade
É quase uma brincadeira: a tendência é resolver um problema simples apenas de acordo com a nossa convicção. Esse é um dos numerosos casos em que uma aproximação matemática de um problema é mais eficiente que um chute no escuro.
Forneça um pedaço de barbante de aproximadamente 1,80 m de comprimento para cada aluno. Em seguida, peça que eles o coloquem no chão na forma de uma alça, com as extremidades livres. A seguir, eles devem puxá-las fazendo com que a alça fique cada vez menor e parem quando julgarem que o laço está do tamanho de sua respectiva cintura.
Aí, peça que cada um confronte a precisão da sua imaginação, envolvendo a alça ao redor da cintura: a maioria das pessoas vai fazê-la cerca de duas vezes mais extensa do que deveria ser!
Comente agora que, sendo o perímetro de uma circunferência aproximadamente igual a três vezes o seu diâmetro, então o diâmetro é cerca de um terço da circunferência. Um aluno cuja cintura mede, por exemplo, 60 cm, deveria formar um laço no chão com diâmetro de cerca de 20 cm. Mas esse valor nos parecerá sempre muito pequeno.


A técnica do "vai um"

Ponto de partida
Leitura dos textos: Crianças e números e Senso numérico, do Programa Educar da USP, Campus São Carlos, e Conferindo contas", do site Educação.
Objetivo
Reforçar a idéia de que um número possui o fator da centena, da dezena e da unidade, e que os algoritmos tradicionais utilizam este conceito.
Estratégias
1) Enfatizar que, quando "vai um", na verdade, vai uma dezena, uma centena e assim por diante;
2) Trabalhar com o algoritmo de maneira lenta e gradual, para cimentar o conhecimento, e não mecanizá-lo.
Atividade
1) Usar o algoritmo do "vai um" em voz alta para fixá-lo no subconsciente dos alunos;
2) Utilizar o ábaco como ferramenta para melhorar e agilizar o entedimento do algoritmo.
Sugestões
Lentamente, sugerir a idéia de "vai uma dezena", vai "uma centena" e assim consecutivamente. Nos alicerces do ensino fundamental se apóiam todos os outros. Lembre-se que o seu trabalho é o mais importante de toda a cadeia de ensino.



Estatística

Ponto de partida
Uma abordagem clássica de probabilidades ligadas aos jogos, aos censos geográficos, às eleições, etc.. Sugere-se a leitura do texto Probabilidade e estatística, no site Educação.
Objetivo
Desvincular o cálculo de estatística do conceito de um cálculo "pesado" e complicado.
Estratégias
1) Enfatizar os conceitos de estatística na tentativa da desvinculação com as fórmulas.
2) A questão deve ser conduzida de uma maneira que amenize a idéia de complexidade de fórmulas e reforce os conceitos básicos da estatísticas.
Atividades
1) Cálculos de estatísticas de experimentos de jogos e outros.
2) Implementação do conceito de amostragem representativa do universo a ser representado.
Sugestões
Reforçar os conceitos antes de aplicá-los às fórmulas, para minimizar os efeitos colaterais de uma abordagem matemática mais dura.


Expressões algébricas e equações
Ponto de partida
Baseando-se nos cálculos algébricos introduzir o conceito de expressões algébricas e equações.
Objetivo
Chegar às equações por intermédio do conceito de monômios, polinômios, etc.
Estratégias
1) Lentamente passar do polinômio para as equações mostrando, por exemplo, uma balança em que tudo que for introduzido em um prato seja também do outro, para manter o equilíbrio.
2) Enfatizar o conceito de equilíbrio das equações.
Atividades
1) Através de problemas de adivinhação de números, mostrar a aplicação das operações inversas nas equações.
2) Inventar novas atividades introduzindo a noção de operações inversas que se anulam.
Sugestões
Tentar montar uma balança simples (de dois pratos) mostrando o equilíbrio.


Perímetros e áreas

Ponto de partida
Partindo da observação de vários objetos como triângulos, a sala de aula, mapas, etc., mostrar a importância dos perímetros e áreas.
Ler o texto Igualdade entre áreas e perímetros, de Antônio Pereira Rosa, no site do Ministério da Educação de Portugal.
Objetivos
Chegar às fórmulas dos perímetros e áreas das principais figuras geométricas.
Estratégias
1) Criar um interesse nos alunos na tentativa de eles mesmos encontrarem as fórmulas dos perímetros e áreas.
2) Criar a noção mental de área e perímetro para incutir uma noção subconsciente da matéria.
Atividades
1) Usar a técnica dos quadrados para a contagem dos perímetros e áreas.
2) Estimar áreas de mapas geográficos para aumentar o interesse da classe.
Sugestões
Em mapas pequenos e com quadrados em escala tentar "preencher" as áreas e perímetros. Enfatizar a utilização diária dos conceitos aprendidos.



Potenciação

Ponto de partida
Leitura do texto Potenciação, da Universidade de Caxias do Sul.
Objetivo
Paulatinamente, introduzir a noção de potenciação utilizando a decomposição em fatores de uma multiplicação.
Estratégias
1) Criar um interesse nos alunos utilizando as probabilidades de jogos com moedas, cartas, dados, etc. somente para aumentar o interesse pela matéria.
2) Contar a lenda do inventor do xadrez que pediu um grão de arroz para a primeira casa do tabuleiro, dois grãos para a segunda casa, quatro grãos para a terceira, etc..
Atividades
1) Montar cubos, a partir de pequenos cubinhos, mostrando a evolução potencial do volume.
2) Tentar mostrar no tabuleiro de xadrez que a lenda daria um número impossível de grãos, tente colocar os grãos até a 8° ou 9° casa.
Sugestões
Mostrar que o mundo das potências é o de números enormes (velocidade da luz, por exemplo). Enfatizar a utilização diária dos conceitos aprendidos.



Probabilidades

Objetivo
Desvincular o cálculo de probabilidades com o conceito de um cálculo "pesado" e complicado para as turmas do primeiro ciclo do ensino fundamental.
Estratégias
1) Enfatizar os conceitos de probabilidades bem separados das fórmulas matemáticas.
2) A abordagem deve ser conduzida de uma maneira que amenize a idéia de complexidade de fórmulas.
Atividades
1) Cálculos de probabilidades de experimentos de jogos e outros.
2) Implementação da probabilidade como uma parte importante de outros cálculos como na estatística.
Sugestão
Reforçar os conceitos antes de aplicá-los às fórmulas para minimizar os efeitos colaterais de uma abordagem matemática mais dura.



Vetores

Ponto de partida
A partir do conceito de força, velocidade vetorial e outras grandezas físicas introduzir a visão matemática de vetor.
Leia o texto Vetores, do programa Educar da USP (Campus de São Carlos).
Objetivos
Apresentar a noção matemática de vetor apoiado na sua grande utilização em física e no dia a dia.
Estratégias
1) Partindo de experiências da física conduzir a aprendizagem dos vetores enfatizando o caráter de entidade matemática "emprestada" à física.
2) A abordagem de uma entidade matemática deverá promover o vetor a categoria de universalização e melhor aceitação por parte dos alunos.
Atividades
1) Experimentos com forças, planos inclinados, etc. ligando os vetores aos eventos físicos.
2) Mostrar a utilização de vetores em diversas áreas da ciência.
Comentário
Os vetores são sempre tratados como entidades da física e deve ser encarado como um ente matemático com utilização em outras áreas.


O Diabo dos Números

Objetivos
Ajudar o aluno a sistematizar e organizar os conteúdos do livro O Diabo dos Números, de Hans Magnus Enzensberger.
Público alvo
-alvoAlunos do segundo ano do ensino médio ou que tenham alguma experiência na leitura, resumo e resenha de textos.
Duração
Leitura do livro: quinze dias. Orientações, produção e apresentação: quatro horas-aula.
Estratégias
1) Depois de propor a leitura e a atividade para a classe, estabeleça junto com os alunos a data de início das discussões. Verifique com eles as datas de eventuais provas e seminários, para que não coincidam com a data da apresentação do livro. Faça com que o prazo determinado seja um consenso, para que todos se sintam comprometidos com o trabalho;
2) Incentive os alunos a realizarem a leitura aos poucos, para que a atividade seja prazerosa e não se transforme em apenas mais uma obrigação.
Introdução
Com exceção da histórica parceria junto às ciências naturais, não são freqüentes as oportunidades em que a matemática atua com naturalidade junto a outras disciplinas no ambiente da sala de aula. Um bom livro de divulgação científica pode criar uma situação favorável de trabalho, praticando a mesma metodologia das ciências humanas na produção de um trabalho acadêmico.
Pode-se dizer que os primeiros livros de divulgação científica são os paradidáticos, que têm a função primordial de contextualizar conteúdos. De certa forma, eles defendem a imagem da ciência, tratada normalmente de maneira formal nas aulas.
O "Diabo dos Números", publicado pela Cia. das Letras, conta a história de um menino que não tinha uma boa imagem da matemática. Numa seqüência de doze sonhos, ele passeia pelos principais conceitos da matemática aplicada no ensino fundamental e médio, conduzido pelo interessante personagem de nome Teplotaxl.
A proposta é fazer com que os estudantes leiam o livro e façam o fichamento dos capítulos escolhidos, com intervenções dos professores de língua portuguesa, história ou filosofia.
A seqüência de capítulos traz, resumidamente, os seguintes assuntos:
1ª noite
Apresentação do "Diabo dos Números"truques com o número 1: 1+1, 1x1, 11x11, etc.;
2ª noite
Romanos, sistema posicional, potenciação;
3ª noite
Primos, crivo de Eratóstenes, conjectura de Goldbach, Vinogradov;
4ª noite
Racionais, irracionais, representação decimal;
5ª noite
Números triangulares, obtenção de quadrados perfeitos;
6ª noite
Números de Fibonacci;
7ª noite
Triângulo de Pascal;
8ª noite
Análise combinatória;
9ª noite
Séries convergentes;
10ª noite
Número de ouro, relação de Euler, caleidociclos;
11ª noite
Divagações sobre demonstrações em Matemática; Bertrand Russell;
12ª noite
Matemáticos e matemáticas superiores (análise, topologia e grupos).

Atividades
De acordo com as circunstâncias (material/datas/cooperação de outras disciplinas), após a leitura, o professor pode optar por duas atividades:
1) Seleção de capítulos para fichamento, para toda a classe, individualmente;
2) Fichamento de todo o livro, em duplas.
O fichamento é um tipo de organização das informações contidas numa obra, dispostas de tal maneira que se transformam num material de consulta eficiente. No caso do livro proposto, essa prática é especialmente importante, uma vez que o autor toca numa grande quantidade de conceitos, muitos deles ainda não vistos formalmente nas aulas do segundo ano do ensino médio.
Formato para o fichamento
1) Autor (Sobrenome seguido do nome);
2) Nome da obra e edição;
3) Cidade;
4) Editora;
5) Data da publicação;
6) Resumo, que deve conter: assunto, procedimentos metodológicos e conclusões do autor. Outra possibilidade para um texto técnico é fazer um esquema de tópicos, que torna o resumo mais objetivo, porém, apaga o colorido dos diálogos e personagens;
7) Síntese das idéias, conceitos e definições usadas pelo autor. Podem ser usadas citações do mesmo (sempre entre aspas), com indicações das páginas onde elas se encontram. O aluno deve sintetizar as idéias do autor utilizando suas próprias palavras;
8) Reflexões e comentários pessoais sobre o tema, relacionando o assunto a outros textos, às aulas e aos conteúdos de outras disciplinas.
Sugestões
Os professores de outras disciplinas podem ajudar a orientar a produção dos resumos, verificando elementos como a adequação da escrita, citações e opiniões. Esse é um bom pretexto para que outros professores também leiam o livro. Mais informações sobre a obra, para professores, encontram-se na versão on-line do Jornal do Professor de Matemática, editado pelo Laboratório de Ensino de Matemática, da Unicamp.


Trios pitagóricos

Objetivos
1) Conhecer o trabalho de alguns geômetras gregos;
2) Rever algumas propriedades de números inteiros;
3) Rever o teorema de Pitágoras;
4) Promover algumas demonstrações.
Público-alvo
Alunos do nono ano do ensino fundamental ou do primeiro ano do ensino médio.
Introdução
Trio pitagórico é a denominação para os três números inteiros que representam as medidas, de mesma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo. Euclides (século 3º a.C) mostrou através dos elementos que há infinitos trios pitagóricos.
Atividades
1) Peça ao dess alunos uma pequena linha do tempo da geometria, na qual deve constar Tales de Mileto, Euclides de Mégara, Eudoxo de Cnido e Pitágoras de Samos, com breves dados biográficos dos mesmos. Esta atividade é interessante para que fique claro os conhecimentos e descobertas de cada um, em determinados pontos da evolução humana;
2) Peça aos alunos uma das muitas demonstração do teorema de Pitágoras;
3) Neste ponto, os alunos já sabem que Pitágoras precedeu Euclides e, que, portanto, este já conhecia a demonstração do teorema sobre triângulos retângulos;
4) Leia para eles a demonstração de Euclides para o fato de haver um número infinito de trios pitagóricos. A prova de Euclides começa com a observação de que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar.

Em outras palavras, cada um dos infinitos números ímpares pode ser somado a um quadrado perfeito para criar outro quadrado perfeito. Alguns desses números ímpares podem ser quadrados perfeitos, mas uma fração de infinitos números também é infinita.
Portanto, existe uma infinidade de números ímpares ao quadrado que pode ser somada a um quadrado perfeito para criar outro quadrado. Existe, assim, um número infinito de trios pitagóricos (adaptado de Singh, Simon - "O Último Teorema de Fermat", Ed. Record);
5) Proponha depois a seguinte questão: um trio pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:
· Escolher dois números pares consecutivos ou dois números ímpares consecutivos;
· Calcular a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração cujo numerador e denominador representam, respectivamente, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo;
· Calcular a hipotenusa, usando o teorema de Pitágoras.
a) Utilizando os procedimentos descritos, calcule as medidas dos três lados de um triângulo retângulo, considerando os números pares 4 e 6.
b) Considere x um número inteiro maior do que 1 e que (x - 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois ímpares consecutivos. Demonstre que esses dois números geram um trio pitagórico.
6) As soluções são as seguintes:
a) Sejam a, b e c, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo procurado. De acordo com o enunciado, temos:

onde b = 5 e c = 12.
Logo,
b) De modo análogo ao item a, temos:

e assim, b = 2x e c = x2 -1.
Daí,

e como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que x2 + 1, 2x e x2 -1 são inteiros.
Conclusão da atividade
Outro modo de calcular trios pitagóricos: Escolha dois números primos entre si u e v, u > v. Um trio pitagórico x, y, z, se obtém a partir de u e v assim:
x = (u2 - v2), y = 2uv, z = (u2 + v2).
Por que isso dá certo?



Revisão de geometria plana

Objetivo
Rever os principais conceitos de geometria plana, necessários para o estudo de geometria espacial e analítica.
Público alvo
Alunos no segundo ano do ensino médio, antes do estudo de sólidos, e no terceiro ano, em fase de revisão para vestibulares.
Duração
Quatro horas-aula (aproximadamente 200 minutos).
Comentários
A maioria dos conteúdos de geometria euclidiana plana é aplicada no ensino fundamental, sem muito aprofundamento. Através de objetos bem conhecidos dos alunos das primeiras séries, são introduzidas as idéias de entes primitivos (ponto, reta, plano), segmentos, figuras planas e ângulos. As crianças trabalham com estes elementos.
Até o sexto ou sétimo ano do ensino fundamental são ensinados os nomes de triângulos notáveis, as cevianas e como calcular o perímetro e a área de polígonos. Alunos com mais sorte aprendem os casos de congruência de triângulos e até algumas construções geométricas. Chegamos então ao oitavo e nono ano, quando aparecem os importantes teoremas de Tales e Pitágoras e a semelhança entre figuras.
No ensino médio, há pelo menos duas razões para a realização desta revisão:
· propriedades da geometria plana são demonstradas em problemas clássicos de geometria analítica;
· propriedades de elementos de geometria métrica (como apótemas e alturas) lançam mão de semelhança ou de triângulos retângulos.
Material
Livros usados no ensino fundamental, que trabalham o tópico geometria plana.
Atividade
1) Divida a classe em duplas. Certifique-se de que cada dupla tenha um livro para consulta;
2) Entregue um roteiro para cada aluno. O ideal é que haja espaço no próprio roteiro para que o aluno resolva os exercícios, mas eles também podem ser feitos no caderno;
3) O trabalho deve ser realizado em duplas, mas cada aluno deve preencher seu próprio material;
4) Combine com a turma um prazo para preencher todo o roteiro, ou imponha limites para cada conjunto de itens (exemplo: vamos parar e comentar a cada vinte minutos, a cada meia hora).
Roteiro
1) Você conhece algum objeto facilmente identificável com:
· um ponto?
· uma reta?
· um plano?
· uma semi-reta?
· um segmento?
· um ângulo?
2) Quais as definições dos seguintes entes geométricos?
· ponto médio de um segmento?
· bissetriz de uma região angular?
· perpendicular a um segmento?
· mediatriz de um segmento?
· circunferência?
· triângulo retângulo?
3) Faça desenhos que evidenciem os seguintes casos de congruência entre triângulos:
a) caso LLL
b) caso LAL
c) caso ALA
d) caso LAA
4) Faça desenhos que ilustrem:
a) o teorema de Tales
b) a semelhança de triângulos
c) o teorema de Pitágoras
5) Por que o caso AAA não é um caso de congruência entre triângulos?
6) Façam desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:
a) "num triângulo isósceles a mediana relativa à base é perpendicular a essa base".
b) "num triângulo isósceles, a mediana relativa à base é a bissetriz do ângulo do vértice".
c) "O baricentro de um triângulo divide as medianas em segmentos que estão na razão de 2:1, isto é, a distância entre o baricentro e um vértice é o dobro da distância entre o baricentro e o ponto médio do lado oposto".
d) "quando se baixa a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, obtemos dois outros triângulos retângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo retângulo original. Tais relações de semelhança têm o nome de relações métricas no triângulo retângulo".
7) O que é:
a) um paralelogramo?
b) um retângulo?
c) um losango?
8) Faça desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:
a) "as diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios".
b) "as diagonais de um losango se cruzam em ângulo reto". c) "a diagonal de um losango é a bissetriz dos ângulos com origem nos vértices do losango".
d) "quando traçamos uma diagonal AC em um losango ABCD, obtemos dois triângulos ABC e ADC, que são isósceles congruentes".
9) Sobre ângulos na circunferência, desenhe:
a) ângulo central: todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
b) ângulo inscrito: todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são secantes a essa circunferência.
10) Faça desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:
a) "a medida em graus de um ângulo central será a medida de seu arco correspondente".
b) "Um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência se, e somente se, os ângulos opostos são suplementares".
c) "um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência se, e somente se, a soma das medidas dos lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados".
d) "um triângulo inscrito em uma semicircunferência é sempre retângulo".
e) "quando duas cordas AB e CD de uma circunferência cruzam-se em um ponto P, determinam dois triângulos APD e BPC, que são semelhantes".
11) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras?
· Dois triângulos eqüiláteros quaisquer são semelhantes.
· Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.
· Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois.
· Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam nos seus pontos médios, então esse quadrilátero é um retângulo.
· Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.
· Todo quadrado é um losango.
· Todo quadrado é um retângulo.
· Todo retângulo é um paralelogramo.
· Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
· Se as diagonais de um quadrilátero convexo se interceptam perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado.
· Duplicando-se a base de um retângulo, a área torna-se o dobro da área do retângulo original.
· Duplicando-se a altura de um triângulo, a área torna-se o dobro da área do triângulo original.
· Duplicando-se o raio de um círculo, a área torna-se o dobro da área do círculo original.
12) O que é um polígono regular?
13) De acordo com a definição dada acima, um polígono regular pode ser não convexo?
14) Qual é a definição de ângulo interno de um polígono?
15) Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer de n lados obedece à expressão Sn = 180°(n - 2).
16) Prove que a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados obedece à expressão âi = .
17) Qual é a definição de diagonal de um polígono?
18) Lembrando que triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos apresentam números de diagonais respectivamente iguais a ...... , ...... , ...... , ...... e ...... , use o princípio fundamental da contagem para deduzir a expressão que dá o número de diagonais de um polígono de n lados.
19) O que é apótema de um polígono regular?
20) Qual é (em função do lado L do polígono regular):
· O apótema do triângulo eqüilátero:
· O apótema do quadrado:
· O apótema do hexágono regular: 21) Prove que a área de um polígono regular pode ser dada pela expressão Sn = pn . an , onde:
· pn é o apótema do polígono regular;
· pn é o seu semiperímetro.
22) Formas de calcular a área de um triângulo qualquer (em cada caso, faça o desenho, nomeie os elementos citados e monte a formulinha):
a) Conhecendo-se a base e a altura relativa a essa base.
b) Conhecendo-se as medidas de dois lados e do ângulo entre esses lados.
c) Conhecendo-se as medidas dos três lados.
d) Conhecendo-se o semiperímetro e o raio da circunferência inscrita.
Conclusão da atividade
1) Não deixe de enfatizar que todas as propriedades mencionadas são passíveis de demonstração. O ideal é fazer a demonstração de todas;
2) Peça que os alunos comentem a qualidade do livro utilizado: se encontraram o que queriam, se é de fácil leitura, se as figuras ajudaram ou se foi preciso consultar outra obra;
3) Faça com que os alunos comentem a atividade: se foi esclarecedora, se completaram todos os exercícios, se restou alguma dúvida ou se lembraram os conteúdos estudados no ensino fundamental;
4) Prepare uma lista de problemas sobre geometria analítica ou geometria espacial e peça para a turma resolvê-los consultando o roteiro.


Cálculos algébricos

Ponto de partida
Apresentar aos alunos as definições de monômios, binômios, trinômios e polinômios e introduzir os cálculos algébricos. Leitura do texto: Modelagem e visualização da fatoração de trinômios do segundo grau, do Ibilce/Unesp.
Objetivos
Compreender os mecanismos da fatoração e como utilizar os produtos notáveis.
Estratégias
1) Fazer progredir o entendimento dos monômios até os polinômios, desmistificando sua dificuldade. Mostrar que o mais complexo dos polinômios nada mais é do que uma soma algébrica de "meros" monômios;
2) Explicar o tema através dos monômios, mostrando as várias associações de monômios semelhantes.
Atividades
1) Uma vez estabelecidos e fixados os elementos essenciais dos algoritmos, exercitar os conceitos básicos da fatoração;
2) Mostrar que a maioria dos problemas matemáticos, mesmo os mais complexos, se baseiam em simples cálculos algébricos.
Sugestões
Mostrar os monômios que compõem as fatorações e depois separá-los, para apontar os "fatores" menores. Enfatizar que os produtos notáveis são dignos de atenção, devido a sua grande utilização.



Origami e geometria plana

Objetivos
1) Produzir uma peça, individualmente, através da leitura de instruções;
2) Documentar resultados por meio de desenhos;
3) Identificar triângulos notáveis;
4) Estimular momentos de concentração na leitura.
Execução
Uma hora-aula.
Introdução
Origami, a arte oriental de dobradura papel, é um excelente método de estudo da geometria plana. Para construir as belas figuras em origami, parte-se normalmente de folhas de papel quadradas e, através de dobras nesse papel, executam-se passos em que estão em jogo simetrias, translações, paralelismo e perpendicularismo de retas, segmentos e figuras planas.
Atividades com origami contam em geral com grande adesão dos alunos, uma vez que é divertido fazer as dobraduras e o resultado é, em geral, muito bonito.
Material
1) Uma folha quadrada de papel sulfite;
2) Roteiro com instruções e questões.
Atividade
Distribua o material. Peça aos alunos que leiam o roteiro abaixo e façam as dobras na folha de acordo com as instruções do roteiro. Ao final de cada instrução deve haver um desenho que mostra como ficou o papel dobrado ou sulcado.
Ressalte que, para facilitar a compreensão das instruções, é importante marcar nos desenhos os pontos de acordo com as letras mencionadas no roteiro - e até na própria folha quadrada, se acharem conveniente.
Observe que a parte mais importante do roteiro é a construção da peça através da leitura, compreensão e execução de cada passo; se isso estiver garantido, os alunos darão as respostas corretas no questionário. Incentive-os a retirar as informações da leitura atenta.
Roteiro
Esse roteiro contém instruções sobre como dobrar a folha quadrada. Depois de cada instrução, faça um desenho da folha (dobrada ou sulcada)
1) Tome um quadrado ABCD. Dobre-o pela diagonal AC. Desdobre-o.
2) Dobre o triângulo ABC pelo vértice C até que o vértice B encoste-se à diagonal AC. Faça o mesmo com o vértice D.
3) Desdobre.
4) Ao dobrar o lado AB, você criou o ponto P sobre AB e, analogamente, o ponto Q sobre AD. Chame O ao ponto em que PQ cruza AC.
Observe o desenho final e responda, agora:
· a) na última dobra, B e D coincidem com O?
· b) o triângulo APC é retângulo?
· c) o ângulo APC é obtuso?
· d) AP = PB?
· e) OP = PB?
· f) os triângulos OPC e BPC são congruentes?
· g) o triângulo PQC é isósceles?
· h) os segmentos AO e OP são perpendiculares?
· i) quanto mede o ângulo PCB?
· j) quanto mede o ângulo PQD?
Para depois da atividade
Essa construção é a base para uma série de figuras. Veja as etapas de construção de um cisne.


Construir uma caixa

Objetivos
1) Aprender a se planejar para a realização de uma tarefa:
· listar necessidades materiais e conceituais;
· pedir esclarecimentos em forma de perguntas;
· elaborar hipóteses e estratégias de resolução;
· verificar a adequação da resposta fornecida ao problema.
2) Trabalhar com conceitos de geometria (construção de retas perpendiculares, áreas de superfícies planas, volume e capacidade de paralelepípedos; unidades de área e volume).
Ponto de partida
Mesmo a mais simples tarefa, como a construção de uma caixa, exige planejamento. Essa atitude valiosa que nos faz priorizar o pensar em relação ao fazer precisa ser cultivada. O planejamento é uma ferramenta importante na resolução de problemas. De que material ou instrumentos necessitamos para fazer uma caixa? É necessário saber as medidas de antemão? Qual a seqüência de passos mais adequada?
O fundamental é que, na busca da solução dos problemas, apareçam estratégias e idéias que possam ser executadas. Infelizmente, alguns são levados a pular a fase de planejamento e partem para a execução, o que nem sempre é garantia de sucesso ou de economia de tempo. O tempo consumido no planejamento é economizado na execução. O público alvo dessa atividade são alunos de nono ano do ensino fundamental (oitava série) e a atividade pode ser executada em duas aulas.
Material
· cartolina;
· cola;
· fita adesiva;
· tesoura ou estilete;
· régua;
· compasso;
· esquadro;
· calculadora;
· um saco de bolinhas de isopor pequenas, de 1000 cm3 (só para o professor).
Estratégias
1) Mostrar para a classe o saco de bolinhas de isopor e pedir para que estimem o volume que as bolinhas ocupam. (Incentivar palpites; encorajar a comparação do volume das bolinhas com o de uma garrafa de refrigerante pet de 2 litros; levar em conta que, em geral, os alunos não fazem boas estimativas de volume.);
2) Solicitar a construção de uma caixa para essas bolinhas de isopor, que ocupam o volume de 1 litro exato, ou 1000 cm3;
3) Aula expositiva sobre formas tridimensionais e o modo de calcular o volume; unidades de volume e conversões; paralelepípedos, cilindros e pirâmides. A partir da aula expositiva, pode ser sugerida a forma de um paralelepípedo, pela sua simplicidade, para a construção da caixa;
3) Divididos em pares, os alunos devem selecionar o material para a construção das caixas e pensar nas estratégias que poderão utilizar. (Essa fase é conturbada e os alunos precisam de tempo para pensar. Observe que grupos diferentes, pensando em distintas estratégias, poderão solicitar materiais diferentes. Peça aos grupos que anotem as solicitações.);
4) Definir as estratégias de elaboração. (Muitas perguntas deverão surgir: note que além da proposta nada mais foi determinado; compartilhe as dúvidas e reflexões entre todos da classe. Incentive-os a fazer anotações e fazer desenhos ou esquemas. Nessa fase, eles estarão interessados em saber quais serão as medidas da caixa; se toda a cartolina deve ser usada; se a caixa deve ser feita com cola ou fita adesiva; se precisa de tampa, etc. Combine com eles o que você julgar conveniente. Lembre-se: o fundamental é a elaboração do plano de ação.);
5) No segundo dia de aula, utilizando os materiais anotados e seguindo as estratégias previstas, as caixas são construídas. Depois de prontas, as caixas são testadas, verificando-se se as bolinhas ocupam completamente o espaço interno da caixa. (Os alunos aguardam o momento do teste com grande expectativa. É de importância vital como o fiel da atividade.)
Sugestões e comentários
É importante comparar os métodos de construção entre as duplas da classe. Pode-se verificar com a classe se há um procedimento mais simples para a atividade, ou que implique erro menor. Os alunos também podem calcular a área da cartolina usada. Pode-se perceber que caixas de diversos formatos apresentam a mesma capacidade, mas algumas necessitam menos cartolina na sua execução. No caso de caixas que apresentaram capacidade diferente de 1000 cm3, é importante discutir quais teriam sido os fatores de erro.
Leitura recomendada
O professor pode enriquecer suas atividades com a leitura do livro "How to Solve It", do matemático húngaro George Polya, que estudou a formulação de estratégias para a resolução de problemas.


Pizza octogonal

Objetivos
Implementar o estudo de geometria e elementos de trigonometria na construção do octógono regular.
Público alvo
Alunos do 9º. ano do ensino fundamental
Tempo de execução
Uma hora-aula
Introdução
Freqüentemente, os alunos nos procuram com perguntas do tipo: para que serve tudo o que se aprende? Por que motivo temos que estudar matérias que a gente sabe que nunca vai usar na vida?
Há os que pretendem ser empresários, e se possível de sucesso; empresários de sucesso certamente não vão precisar de matemática. Bem, talvez não seja tudo tão descartável: alguns cálculos de porcentagens, equações, gráficos, até se podem admitir; mas geometria... é absurdo. É coisa de engenheiro. E assim, entre um e outro assunto classificado como desinteressantes, os alunos vão colecionando provas irrefutáveis da inutilidade de certos conhecimentos.
Talvez não seja assim. Se há uma coisa que nunca saberemos, será quando algo nos vai ser útil.
Proponha aos alunos a seguinte situação: imaginem que vocês são donos de uma pizzaria. Qual a forma geométrica mais interessante para um pizzaiolo? Certamente o círculo, alguém dirá. Mas certo empresário de embalagens encontrou no octógono um motivo para sorrir. Com ele, hoje, sorriem centenas de pizzaiolos.
Material
Uma caixa de pizza de formato octogonal
Atividade
Considere uma circunferência de raio r; sobre essa circunferência, disponha oito pontos de modo que a circunferência fique dividida em oito arcos de mesmo comprimento.
A figura obtida pela união dos pontos consecutivos tem o nome de octógono regular.

Alegando que a forma circular dá muita perda de papelão, e talvez apelando para certa tendência modernista, o formato circular da caixa de pizza foi substituído pelo octogonal. Há vantagem para o fabricante: as caixas podem ser entregues desmontadas, economizando espaço e diminuindo a perda por amassamento, sem falar na alegada perda de papelão e facilidade de fabricação (as embalagens são fabricadas recortando-se, apenas, o papelão, não havendo mais a necessidade de moldagem).
Mas, o que diz o consumidor? O consumidor não diz nada; está de boca cheia, porque a pizza sempre demora mais do que a gente gostaria, não há clima favorável para se formar alguma opinião. Até porque a caixa tem o mesmo "tamanho" da caixa circular; a distância entre dois vértices opostos do octógono é o mesmo diâmetro da caixa original. Abrindo a caixa octogonal, vemos que a pizza encaixa perfeitamente nas paredes opostas. Tudo bem.
Aproveitemos esse momento, longe da tentação calórica, e vamos fazer umas continhas. Deixe escrito na lousa:

1. Dado um círculo de raio r, calcule a sua área. Chame essa figura de C1

2. Dado um octógono regular inscrito num círculo de raio r, determine a sua área. (nas classes mais adiantadas, peça que eles mostrem que a área pode ser calculada como A = , onde 135° é o ângulo interno do octógono regular.)
3. Está correta a afirmativa de que a caixa circular e a caixa octogonal têm o mesmo "tamanho"? Justifique a sua resposta.
4. Determine a área do círculo inscrito no octógono, em função do mesmo raio r do círculo circunscrito. Chame essa figura de C2.
5. Determine, agora, a razão entre as áreas de C2 e C1.
Perceba que há diferença entre a quantidade de pizza que cabe na caixa circular e a que cabe na caixa octogonal.
Vencida essa etapa de geometria, falemos de finanças.
6. Suponha o pizzaiolo continua cobrando o mesmo preço P da pizza, como se ela tivesse o mesmo tamanho. Calcule o lucro percentual numa pizza de caixa octogonal em relação à de caixa circular.
7. Você sabe que as promoções estão em moda. De quanto seria o desconto a ser dado numa pizza de caixa octogonal para que ela tivesse, proporcionalmente, o mesmo preço de uma pizza de caixa circular?
Aqui, você tem um espaço para fazer os seus comentários. Ou, quem sabe, deixar que tudo termine em pizza.
Para depois da atividade
Muitos mosaicos árabes têm como base os octógonos regulares, como os que se vêem nas mesquitas marroquinas. A construção de mosaicos é uma ótima oportunidade para se estudar as propriedades de polígonos regulares.



Tangram, área e porcentagem

Introdução
O tangram é um quebra-cabeça que nos desafia à montagem de inúmeras figuras. Nas aulas de matemática, ele pode servir como um recurso na produção de atividades.

Objetivo
Mostrar a construção de um quadrado com as sete figuras geométricas que compõem o jogo do tangram. Aplicando o conceito de porcentagem, relacionar a área desse quadrado com a área que cada uma das figuras ocupa.

Estratégias
1) Desenhar um quadrado na lousa, fragmentando-o em sete partes que correspondam às sete figuras geométricas do jogo do tangram. Mostrar o procedimento de construção dessas figuras, inseridas e encaixadas no interior do quadrado, a partir das diagonais desse quadrado e passando pelos pontos médios dos segmentos:


2) Pedir aos alunos que reproduzam no caderno o modelo que foi apresentado na lousa. O lado do quadrado pode ter qualquer medida, desde que os alunos sigam corretamente os procedimentos de construção.

3) Confirmar as sete figuras geométricas que formam o quadrado: no caso, cinco triângulos retângulos, um paralelogramo e um quadrado. Os alunos devem pintar cada uma dessas figuras com uma cor diferente.

4) Retomar os procedimentos de cálculo da área de cada uma dessas figuras. O que é necessário medir em cada uma para o cálculo da respectiva área?

5) Calcular a área de cada uma das figuras e elaborar uma legenda, utilizando-se as cores anteriormente escolhidas.

6) Calcular a fração da área que cada figura ocupa em relação à área total do quadrado formado no quebra-cabeça.

7) A partir de cada fração calculada, calcular a porcentagem correspondente.

8) Escolher os alunos que escreverão na lousa as medidas de cada figura e os cálculos que foram feitos para conseguir a respectiva porcentagem. O que podemos observar?

Atividades
1) Pesquisar o jogo do tangram e escolher uma figura do quebra-cabeça. Desenhá-la na capa do caderno com as medidas utilizadas na atividade anterior. Medir o comprimento e a largura dessa capa e calcular o percentual da área que cada figura ocupa (em relação à área da capa). A porcentagem obtida é igual à anterior? Por quê?

2) Construir um tangram de papel-cartão com as medidas da primeira atividade. Colocar o paralelogramo sobre um dos dois triângulos retângulos que compõem a metade do quadrado e calcular a porcentagem da área ocupada pelo paralelogramo em relação à área do triângulo. Refazer essa atividade colocando o quadrado no lugar do paralelogramo.

3) Em um terreno retangular, com 16 metros de comprimento e 20 metros de largura, são construídos dois jardins com formato de um quadrado. Um deles com lado igual a 4 metros e o outro com 6 metros. Qual é a porcentagem que cada um desses jardins ocupa em relação à área do terreno?



Uma tijolada na geometria

Introdução
O tijolo é um artefato comum em qualquer construção e pode servir como modelo para aprendermos alguns conceitos de geometria métrica. Na verdade, a geometria métrica foi construída com tijolos na forma de cubos. Foi a partir deles que se construiu a unidade para medirmos o espaço ocupado por um determinado corpo. No entanto, os alunos, diante dos problemas de geometria, não interpretam a unidade de forma qualitativa - e são conduzidos a erros de análise e de estimativa. É comum as unidades serem esquecidas ou se transformarem em ponto de conflito na resolução dos problemas.

Nesta aula, começaremos pelo procedimento que define a unidade de volume, relacionando-o à dedução das regras matemáticas para calcular o volume dos sólidos.
Objetivo
1) Relacionar o procedimento que define a unidade de volume com os processos que geram as fórmulas no cálculo dos volumes dos sólidos geométricos (e de outros objetos).

2) Mostrar, por meio de experimentos, os procedimentos que facilitam a conceituação do volume e os caminhos para resolução dos problemas geométricos com enfoque nesse conceito.
Estratégias
1) Pedir para os alunos confeccionarem, com massa de modelar, um cubo com 1 cm de aresta e outro com 2 cm. Nesse cubo com aresta igual a 2 cm cabem quantos cubos com aresta igual a 1 cm? E se confeccionarmos um cubo com 3 cm de aresta, quantos cubos com aresta igual a 1 cm cabem nesse cubo?

2) Apresentar a unidade do centímetro cúbico como o espaço ocupado por um cubo de 1 cm de aresta e deduzir com os alunos, a partir das perguntas do item anterior, a fórmula para calcular o volume de um cubo.

3) Narrar vários exemplos relacionando a unidade de volume com a lógica do cálculo. Por exemplo, em um cubo de 2 cm de aresta temos um volume de 8 cm3, porque cabem nesse cubo outros 8 cubos com 1 cm de aresta, que, no caso, é a nossa unidade de volume.

4) Mostrar que o cubo e o paralelepípedo são casos particulares de prismas retos. Desenhar vários cubos e paralelepípedos, imaginando várias medidas para largura, comprimento e profundidade. Narrar o número de cubos com 1 cm de aresta que devem caber em cada caso. Em outras palavras, narrar o volume para cada exemplo imaginado.

5) Deduzir a fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo.

6) Apresentar o litro como mais uma unidade de volume e imaginá-lo como um cubo de 1 decímetro de aresta, portanto, com o volume de um decímetro cúbico (dm3). Um metro cúbico equivale a quantos centímetros cúbicos? Mostrar a relação entre o litro e outras unidades de volume, como, por exemplo, o centímetro cúbico e o milímetro cúbico.

7) Confeccionar, com massa de modelar, um cubo com 3 cm de aresta. Transformar esse sólido em um cone, sem alterar a quantidade da massa de modelar. Essa iniciativa é para mostrar que podemos mudar o formato de um objeto conservando o volume.

8) Confeccionar, com massa de modelar, um cubo com 2 cm de aresta para, logo depois, mantendo a mesma quantidade de massa, transformá-lo em um cilindro. Pesquisar a fórmula para o cálculo do volume do cilindro e aplicá-la no cálculo do volume desse cilindro que foi confeccionado. Comparar o resultado obtido pela fórmula com o volume do cubo confeccionado no início da atividade.

9) Transformar o cilindro e o cone, confeccionados nos itens anteriores, em outros objetos, mas sem alterar a quantidade de massa de modelar. Essa atividade, que permite criar novas formas, relaciona o conteúdo de geometria métrica com os procedimentos na área de artes; no caso, a escultura.
Atividades
1) Pedir para os alunos colocarem determinado número de feijões em um frasco graduado contendo certa quantidade de água. Devemos contar o número exato de feijões que forem colocados. Medir a diferença da variação do volume de água com o acréscimo dos feijões e achar o volume médio de cada feijão usado no experimento.

2) Usando um frasco graduado com água, pedir para os alunos elaborarem um procedimento com o objetivo de medir o volume de qualquer objeto que possa ficar submerso na água. Imaginar um cubo com o mesmo volume do objeto que foi submerso nesse experimento. Qual deverá ser a medida da aresta desse cubo?

3) Construção de problemas utilizando o paralelepípedo como um modelo de resolução. Por exemplo, o cálculo do volume de ar contido em uma determinada sala.

4) Construção de problemas utilizando como modelo o cilindro e o cone. Por exemplo, a forma do cilindro pode ser relacionada com o formato de um tubo, de um cano, ou mesmo de um edifício. No caso do cone, este pode ser relacionado ao formato de objetos como um funil ou uma casquinha de sorvete.

5) Pedir para os alunos confeccionarem uma esfera, com massa de modelar, desafiando-os a achar um procedimento para medir o raio dessa esfera. Orientar uma pesquisa para investigar a aplicação da fórmula usada no cálculo do volume desse sólido.

6) Pedir para os alunos imaginarem e desenharem uma caixa, no formato de um paralelepípedo, repleta de bolinhas de gude. Apontar um caminho para o cálculo do volume não ocupado pelas esferas dentro dessa caixa.

9) Pedir para os alunos calcularem o volume de um tijolo de barro usado em qualquer construção.


Condição para os triângulos

Introdução
É muito comum os alunos pensarem que quaisquer três segmentos podem formar um triângulo, bastando apenas uni-los. Porém, isso não é verdade. Existe uma condição de existência de triângulos, dadas as medidas dos três segmentos.

Muitas vezes, o professor dá esse conteúdo na lousa, como uma "regrinha", juntamente com mais uma ou duas outras - e pronto: além de o assunto ser tratado como nota de rodapé, a regrinha não assume um significado concreto para o aluno, que mal a decora.

A proposta desta atividade é fazer com que os alunos assimilem essa condição de existência dos triângulos, sem precisar decorar regra alguma, e de uma forma que isso não seja tratado como regra, mas sim como algo perfeitamente natural.
Objetivo
Levar os alunos a concluírem que só é possível obtermos triângulos, dados três segmentos, quando o maior segmento for menor que a soma dos outros dois, ou seja, que num triângulo qualquer, o lado maior é menor que a soma dos lados menores.
Estratégia
Deixar os alunos trabalharem em duplas, no máximo em trios. Os conceitos previamente discutidos devem ser apenas a definição de triângulos, o que são lados, vértices e ângulos internos e externos.
Atividade
Distribuir aos alunos pedaços dos mais variados tamanhos de canudos ou palitos de churrasco, ou algum material semelhante. É importante distribuir de forma bastante aleatória, ficando cada dupla com 3 pedaços ou mais, de qualquer tamanho.

Pedir que eles construam o maior número possível de triângulos com esses pedaços de materiais, unindo ponta com ponta, não valendo deixar nenhuma sobra de palitinho ou canudinho.

Dar um tempo para que os alunos tentem todas as possibilidades com os palitinhos que possuem.

Orientá-los a deixarem registradas as possibilidades encontradas, desenhando-as no caderno.

Esgotadas as possibilidades, questioná-los sobre os resultados encontrados.

Possivelmente, muitos deverão se deparar, devido à aleatoriedade da distribuição, com a impossibilidade de formação dos triângulos. Questioná-los por que isso aconteceu.

A condição de existência de triângulos será naturalmente comentada por eles: não será possível formar triângulos quando o palitinho maior for maior que os outros dois juntos.

Basta formalizar a condição ao final da discussão.